数学笔记6：概率统计看这一篇就够

2024 年 7 月 3 日

本文是我的数学笔记系列的第六篇文章。这个系列记录了大学本科期间数学课程的笔记和心得，希望对你有帮助。此次的主题是概率论与数理统计。

概率统计对机器学习有很大的帮助，可以通过统计方法选择和优化模型，例如线性回归、逻辑回归、支持向量机等；应用贝叶斯方法进行参数估计和模型选择，在机器学习中常用于构建贝叶斯网络和隐马尔可夫模型。

核心知识有：

随机事件与概率
一维离散随机变量及其分布
一维连续随机变量及其分布
二维连续随机变量及其分布
二维离散随机变量及其分布
随机变量的数学期望
随机变量的方差与协方差

文末附带真题练习。

随机事件与概率

条件概率是描述一个事件在另一个事件已经发生的前提下的概率。公式如下：

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} =\frac{P(AB)}{P(B)}

它利用先验概率和条件概率来更新事件发生的概率，是贝叶斯统计的核心基础（已知结果，倒过来找原因）。其公式为：

P(A|B) = \frac{P(B|A)·P(A)}{P(B)}

例如，假设你进行了一个新冠病毒（COVID-19）检测，检测结果为阳性。我们想知道你实际感染新冠病毒的概率。假设某个城市中，每 1000 个人中有 1 人感染新冠病毒（先验概率）；如果一个人确实感染了，检测阳性的概率为 99%（似然），未感染的人中有 5% 的概率会被检测为阳性。

设检测阳性为 $B$ ，感染为 $A$ 。结合条件概率公式，代入贝叶斯公式可得：

P(A|B)=\frac{0.99*0.01}{0.99*0.001 + 0.999 * 0.05}=0.0194

也就是说，即使你的新冠检测呈阳性，你患新冠的概率也只有1.94%。

再例如，某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5%、20%、30%、45%，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%、70%、50%、80%。假设该人如期到达，求坐火车的概率？

设坐火车的概率为 $P(A_2)$ ，如期到达的概率为 $P(B)$ 。根据贝叶斯公式：

P(A_2|B) = \frac{P(A_2|B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_2)P(A_2)}{P(B)}

根据全概率公式，容易得到 $P(B) = 0.7$ 。所以结果为 0.2。

P(A∩B) = P(B) * P(A|B) = P(A) * P(B|A)

如果两个事件 $A$ 和 $B$ 相互独立，它们具有以下重要性质：

一个事件的发生不改变另一个事件发生的概率，即 $P(A|B) = P(A)$
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

一维离散随机变量及其分布

进行独立的伯努利实验（实验结果只有两种，彼此独立），直到第一次成功，所需的试验次数 $X$ 服从参数为 ( p ) 的几何分布。例如：

射手连续射击目标，每次射中的概率为 $p$ ，射中后就停止。求需要 $n$ 次停止的概率；
连续投掷一个骰子，投到 6 点就停止。求需要 $n$ 次停止的概率；
连续投一个硬币，投到正面就停止。求需要 $n$ 次停止的概率；

在这些例子里， $n$ 就是随机变量（取值为1，2，3….），我们称这些随机变量符合几何分布。

以投掷骰子为例，假设我们想求需要次数为 3 的概率，直接带入概率质量函数即可：

P(X = k) = (1-p)^{k-1}p

这里 $p = \frac{1}{6}$ , $k = 3,$ 所以求出概率为 0.1157。

如果一个实验只有两种可能结果（成功或失败），且实验重复进行 $n$ 次，每次成功的概率为 $p$ ，则随机变量 $X$ 表示成功的次数。例如：

假设投掷一枚硬币 10 次，正面向上的概率为 0.5，求正面出现 $n$ 次的概率。
某商品次品率 10%，抽取50次，抽到次品的次数最有可能为多少件？

其中 n 就是随机变量，我们称这类随机变量符合二项分布。

以投硬币为例，假设我们想求正面出现 6 次的概率，直接带入概率质量函数即可：

P(X = k) = C(n, k)p^k(1-p)^{n-k}

这里 $n = 10$ ， $p = 0.5$ ，所以求出概率为 0.205。

再看一个复杂一点的例子：

设随机变量 X 服从二项分布 $B(400, 0.01)$ ，则 $k$ 取多少，P = { X = k } 取最大值？

**对于二项分布，概率质量函数在 $k = np$ 时取最大值（当 np 为整数时）。如果 np 不是整数，则最大值在 np 的向下取整或向上取整处取得。**所以本题答案为 4。

如果在单位时间内某事件的发生次数是一个随机变量，且其发生率为 $\lambda$ ，则该随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记为 $X \sim P(\lambda)$ 。例如：

某网站每分钟平均有 2 次访问请求，求一分钟内有 3 次访问请求的概率；
某商品每月平均销售数量为 4，求一个月销量为 8 的概率 $\lambda$ ；

以销售商品为例，泊松分布的概率质量函数为：

P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}

查询柏松分布表可得概率为 0.9786。换句话说，如果每个月进货8件，那么就有97.86%的概率保证商品不脱销。

一维连续随机变量及其分布

连续随机变量的计算涉及定积分。

值得注意的是，三种分布有三种不同的表示符号。每种分布都有对应的概率密度函数。概率密度函数的积分则为概率分布函数。

一个函数若要作为密度函数，必须满足以下条件：

概率分布函数在值域上的定积分为 1
单调且连续

正态分布是一种最常见的连续概率分布，描述了很多自然现象中的随机变量。一个随机变量 $X $$$$$ 服从参数为 $\mu$ （均值）和 $\sigma^2$ （方差）的正态分布，记为 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 。

概率密度函数为：

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})

例如：

假设某次考试成绩服从均值为 75 分，标准差为 10 分的正态分布，求一个学生成绩在 85 分以上的概率。
某品牌灯泡的寿命服从正态分布,平均寿命为1000小时，标准差为 200 小时。求一个灯泡寿命超过1300小时的概率。
某国成年男性身高服从正态分布，平均身高为175厘米，标准差为6厘米。求随机选择一名成年男性，其身高在180到190厘米之间的概率。

以考试为例，首先进行标准化（表示一个观察值与平均值的差距）：

Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{85 - 75}{10} = 1

根据正态分布表，

P(Z > 1) \approx 0.1587

正态分布有一些优美的性质：

图像关于 $x=\mu$ 对称

均匀分布表示在某个区间内的所有值都等可能。一个随机变量 $X$ 在区间 $[a, b]$ 上服从均匀分布，记为 $X \sim U(a, b)$ 。例如：

假设某种商品的重量均匀分布在 50 克到 100 克之间，求商品重量在 60 克到 80 克之间的概率。

其概率密度公式为：

f(x) = \frac{1}{(b-a)}

这个例子展示了均匀分布的一个重要特性：概率与区间长度成正比。在均匀分布中，我们只需要知道所关心的区间占总区间的比例，就可以直接得出概率。

指数分布常用于描述事件间隔时间。一个随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ （率参数）的指数分布，记为 $X \sim e(\lambda)$ 。例如 $X \sim e(1)$ 表示 $X$ 服从 $\lambda$ 为 1 的指数分布。其概率密度函数：

f(x) = \lambda e^{-\lambda x}

例如，设随机变量 $X \sim e(1)$ ，则 $P \{ X \leq 3 | X > 2 \}$ 为多少？

注意，这里运用了条件概率公式。

P \{ X \leq 3 | X > 2 \} = 1 - P( 2 < X \leq 3) = F(3) - F(2)

二维离散随机变量及其分布

二维离散随机变量是一对离散随机变量的组合，用于描述两个变量之间的联合分布。设 $X$ 和 $Y$ 是两个离散随机变量，定义它们的联合概率分布 $P(X = x_i, Y = y_j)$ ，表示 $X$ 取值为 $x_i$ 且 Y 取值为 $y_j$ 的概率。

通常我们使用表格来表示联合分布。联合分布具有以下性质：

所有概率之和必须等于1
如果 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的，这意味着： $P(X = x_i) = P(X = x_i, Y = y_1) + P(X = x_i, Y = y_2) + P(X = x_i, Y = y_3)$ 对于每个 $x_i$ 都成立。

数学笔记6：概率统计看这一篇就够

随机事件与概率

一维离散随机变量及其分布

一维连续随机变量及其分布

二维离散随机变量及其分布

二维连续随机变量及其分布

随机变量的数学期望