数学笔记2：理解空间中的旋转曲面

笔者最初学习的时候，对于”把某某曲线沿着 $x$ 轴旋转一周“类的题目有些茫然。本文将图文并茂，彻底带读者搞清楚这个问题。

此类题型可能要求求抛物线、双曲线绕某个轴旋转一周形成的曲面方程。

当一个曲线绕x轴旋转时，每个点的$y$坐标和z坐标将形成一个圆的方程，其半径等于原始y坐标的绝对值。也就是说：

r怎么确定呢？由于该曲线位于$xOy$平面上，所以曲线上任意一点在开始旋转时的y值就是半径。故有：

所以只需要把曲线中的$y$替换为$y^2+z^2$即可解出新的曲面方程。

同理，绕y轴旋转时，$x$的值为半径，所以有：

注意，要看清题目中曲线位于哪个平面上，再确定半径为多少。对于$xOz$平面上的曲线，替换方程略有不同。这里不做展示：

• 绕$x$轴：$z^2=z^2+y^2$
• 绕$y$轴：$x^2 = x^2 + z^2$
• 绕$z$轴：$x ^2 = x^2+y^2$

这张图演示了$xOy$平面上的抛物线绕x轴旋转180度的图像。右边是正面视角，不难看出：

为方便记忆r值，可以这样理解：要从x,y,z三个值中选一个作为r，只需要先去掉所绕的坐标轴，再选取剩下两个值与平面两个值的交集。

例如，$xOy$ 平面上某曲线绕 $x$ 轴旋转，去掉x轴，还有y,z。再求y,z与x,y的交集，得出r为y。