数学笔记3：关于微分方程，你需要知道的一切

本文面向为微分方程头痛的大学本科生，或者有兴趣想自学的任何人士。

微分方程是一种数学方程，用于描述某个函数的导数与该函数和其他变量之间的关系。

微分方程的分类

要掌握微分方程的计算，首先要学会对微分方程分类，才能选择正确的方法计算。

高等数学中不涉及偏微分方程以及高阶常微分方程，故不在本文讨论范围内。常微分方程大致可分为四类：

• 形式：可写为 $N(y)dy=M(x)dx$ 的形式，其中 $N(y)$ 和 M(x) 是 y 和 x 的函数。
• 特征：方程两边可以被重新排列，使得所有含 y 的项在一边，所有含 x 的项在另一边。
• 形式：$y^{\prime}+ P(x)y=0$
• 形式：$y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=0$。
• 特征：方程线性且没有常数项（即“非齐次”项）。方程中的 $y$ 及其导数的系数仅是 x 的函数。
• 形式：$y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=Q(x)$
• 特征：除了线性特征外，还包含一个不等于零的非齐次项 Q(x)
• 形式：d**y/d**x+P(x)y=Q(x)y**n，其中 n 不等于 0 或 1。
• 特征：这是一个非线性方程。它的特点是包含 y^n 的项，其中 n 是实数。

求解方法

将所有y的项移到方程的一边，所有$x$的项移到另一边，接着对两边积分即可。

直接记住通解公式即可：

直接记住通解公式即可：

记忆技巧：齐次形式的通解 + 特解。而$e^{-\int P(x) \mathrm{d}x}$是积分因子。

对于这种方程，有两种求解方法。

我们以这个方程为例来讲解：

其中一种是特征方程法。该方法的步骤如下：

1. 写出特征方程：$r^2 - 4r + 13 = 0$

2. 解特征方程：按照二元一次方程的思路来计算即可

3. 写出通解：

4. 若特征方程有两个根，则通解 $y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$

5. 若特征方程的根是重根（$r_1 = r_2$），则通解为$e^{rx}(C_1+C_2x)$

6. 若特征方程的根是共轭复数，则通解为$e^{ax}(C_1cos(bx) + C_2sin(bx))$

你可能会疑惑，什么是共轭复数？其实就是指特征方程的判别式$\Delta < 0$ 的情况。一般情况下我们会声称这个方程没有解，因为根号下不能为负数。

此时若把根号下取绝对值，再在开根号的结果后加上复数$i$，我们仍然可以得到两个根。例如，对于特征方程：

利用公式法计算出其根为：

此时根号下为-36，我们可以得出共轭复数为：

其中$a=-2, b=3$。

所以该方程的通解为：

对于这种方程，首先要将$Q(x)$假设为0来计算通解$y_h$

接着，我们要找到特解$y_p$。

根据 $Q(x)$ 的形式来设一个待定特解。例如，考虑这个方程：

设待定解为$y = Axe^x$，将其带入原方程：

整理得：

解得：

接着将待定解代入原方程，非齐次微分方程的解即为齐次微分方程通解+非齐次微分方程特解：

故原方程的通解为：

对于待定特解的确定，常见的有这两种：

• $cos(wt)$ 或者 $sin(wt)$：$acos(wt) + bsin(wt)$
• $e^{at}$：$Be^{at}$

已知函数 f(x) 是微分方程 $y^{\prime\prime} - 2y^{\prime} + 5y = 4e^x$的解，且$f(0) = -2$, $f^{\prime}(0) = -2$。求$f(x)$

总结

微分方程求解的难点在于通解公式的记忆，总体不难。